区间DP
石子合并
设有 N 堆石子排成一排，其编号为 1,2,3,…,N。
每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这 N 堆石子合并成为一堆。
每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。
例如有 4 堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1、2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；
如果第二步是先合并 2、3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。
问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 310;
int a[N], s[N];
int f[N][N];
int n;
int main(){
cin >> n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin >> a[i];
s[i] += s[i-1] + a[i];
}
for(int len = 2; len <= n; len++){
for(int i = 1; i + len - 1 <= n; i++){
int l = i, r = i + len - 1;
f[l][r] = 1e9;
for(int k = l; k < r; k++){
f[l][r] = min(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r] + s[r] - s[l - 1]);
}
}
}
cout << f[1][n] << endl;
return 0;
}
线性DP
最长上升子序列 II
给定一个长度为 N 的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n;
int a[N];
int q[N];
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);
int len=0;
q[0]=-2e9;
for(int i=0;i<n;i++){
int l=0,r=len;
while(l < r){
int mid = l + r + 1 >> 1;
if(q[mid] < a[i]) l = mid;
else r = mid - 1;
}
len = max(len, r + 1);
q[r + 1] = a[i];
}
printf("%d\n",len);
return 0;
}
思路：首先数组a中存输入的数（原本的数），开辟一个数组f用来存结果，最终数组f的长度cnt就是最终的答案；假如数组f现在存了数，当到了数组a的第i个位置时，首先判断a[i] > f[cnt] 若是大于则直接将这个数添加到数组f中，即f[++cnt] = a[i];这个操作时显然的。 当a[i] <= f[cnt] 的时,我们就用a[i]去替代数组f中的第一个大于等于a[i]的数，因为在整个过程中我们维护的数组f 是一个递增的数组，所以我们可以用二分查找在 logn 的时间复杂的的情况下直接找到对应的位置，然后替换，即f[l] = a[i]。
我们用a[i]去替代f[tmp]的含义是：以a[i]为最后一个数的严格单调递增序列,这个序列中数的个数为l个。
这样当我们遍历完整个数组a后就可以得到最终的结果。
时间复杂度分析：O(nlogn)
另一种写法：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n;
int a[N];
int f[N];// f数组存储我们的性质最好的最长上升子序列
int cnt;
int find(int x){
int l = 1, r = cnt;
while(l < r){
int mid = l + r >> 1;
if(f[mid] >= x) r = mid;
else l = mid + 1;
}
return l;
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
f[++cnt] = a[1];
for(int i=2;i<=n;i++){
if(a[i] > f[cnt]){
f[++cnt] = a[i];
}
else{
int tmp = find(a[i]);
f[tmp] = a[i];
}
}
printf("%d\n",cnt);
return 0;
}
