保研机试训练Day-31

Huffman树

合并果子

在一个果园里，达达已经将所有的果子打了下来，而且按果子的不同种类分成了不同的堆。

达达决定把所有的果子合成一堆。

每一次合并，达达可以把两堆果子合并到一起，消耗的体力等于两堆果子的重量之和。

可以看出，所有的果子经过 n−1 次合并之后，就只剩下一堆了。

达达在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。

因为还要花大力气把这些果子搬回家，所以达达在合并果子时要尽可能地节省体力。

假定每个果子重量都为 1，并且已知果子的种类数和每种果子的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使达达耗费的体力最少，并输出这个最小的体力耗费值。

例如有 3 种果子，数目依次为 1，2，9。

可以先将 1、2 堆合并，新堆数目为 3，耗费体力为 3。

接着，将新堆与原先的第三堆合并，又得到新的堆，数目为 12，耗费体力为 12。

所以达达总共耗费体力=3+12=15。

可以证明 15 为最小的体力耗费值。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
  
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > heap;
    while(n--){
        int x;
        scanf("%d",&x);
        heap.push(x);
    }
    int res = 0;
    while(heap.size() > 1){
        int a = heap.top(); heap.pop();
        int b = heap.top(); heap.pop();
        res += a + b;
        heap.push(a + b);
    }
    printf("%d\n", res);
    return 0;
}

排序不等式

排队打水

有 n 个人排队到 1 个水龙头处打水，第 i 个人装满水桶所需的时间是 $t_i$，请问如何安排他们的打水顺序才能使所有人的等待时间之和最小？

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n,a[N];
typedef long long ll;

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d",&a[i]);
    sort(a, a + n);
  
    ll res = 0, t = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ){
        res += t;
        t += a[i];
    }
  
    printf("%lld\n", res);
    return 0;
}

绝对值不等式

货仓选址

在一条数轴上有 N 家商店，它们的坐标分别为 $A_1$~$A_N$。

现在需要在数轴上建立一家货仓，每天清晨，从货仓到每家商店都要运送一车商品。

为了提高效率，求把货仓建在何处，可以使得货仓到每家商店的距离之和最小。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N=100100;
int n,a[N];

int main(){
    cin >> n;
    for(int i=0;i<n;i++) cin >> a[i];
    sort(a, a + n);
  
    int res = 0;
    for(int i=0;i<n;i++) res += abs(a[i] - a[n / 2]);
  
    printf("%d\n", res);
    return 0;
}

推公式

耍杂技的牛

农民约翰的 N 头奶牛（编号为 1~N）计划逃跑并加入马戏团，为此它们决定练习表演杂技。

奶牛们不是非常有创意，只提出了一个杂技表演：

叠罗汉，表演时，奶牛们站在彼此的身上，形成一个高高的垂直堆叠。

奶牛们正在试图找到自己在这个堆叠中应该所处的位置顺序。

这 N 头奶牛中的每一头都有着自己的重量 $W_i$ 以及自己的强壮程度 $S_i$。

一头牛支撑不住的可能性取决于它头上所有牛的总重量（不包括它自己）减去它的身体强壮程度的值，现在称该数值为风险值，风险值越大，这只牛撑不住的可能性越高。

您的任务是确定奶牛的排序，使得所有奶牛的风险值中的最大值尽可能的小。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
const int N = 50010;
int n;
PII cow[N];

int main(){
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++){
        int w,s;
        cin>> w >> s;
        cow[i] = {w + s, w};
    }
    sort(cow, cow + n);
    int res=-2e9,sum=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        int w = cow[i].second, s = cow[i].first - w;
        res = max(res, sum - s);
        sum += w;
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

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